Eksponansiyel Dağılım Hesaplayıcı

Eksponansiyel (Üstel) Dağılım Nedir?

Eksponansiyel dağılım (veya üstel dağılım), istatistik ve olasılık teorisinde, belirli bir ortalama oranda ve birbirinden bağımsız olarak meydana gelen olaylar arasındaki sürenin olasılığını modelleyen sürekli bir olasılık dağılımıdır. Poisson süreçleri ile yakından ilişkilidir. Eğer olaylar sabit bir ortalama oranla (λ) gerçekleşiyorsa, bir sonraki olayın meydana gelmesine kadar geçen süre eksponansiyel bir dağılıma sahiptir.

Örneğin, bir çağrı merkezine saatte ortalama 10 çağrı geliyorsa, bir sonraki çağrının gelmesine kadar geçecek süreyi modellemek için eksponansiyel dağılım kullanılabilir. Diğer uygulama alanları arasında radyoaktif bozunma, bir makinenin arızalanmasına kadar geçen süre veya bir depremin olmasına kadar geçen zaman gibi konular yer alır.

Temel Fonksiyonlar ve Formüller

• Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu (PDF):
  f(x; λ) = λe^-λx

  Bu fonksiyon, bir olayın tam olarak 'x' zamanında meydana gelme anlık olasılığını verir.

• Kümülatif Dağılım Fonksiyonu (CDF):
  F(x; λ) = 1 - e^-λx

  Bu fonksiyon, bir olayın 'x' zamanından önce veya tam 'x' zamanında meydana gelme olasılığını, yani P(X ≤ x)'i verir.

Bu dağılımın temel özellikleri şunlardır:

• Ortalama (Beklenen Değer): E[X] = 1/λ
• Varyans: Var(X) = 1/λ²
• Standart Sapma: σ = 1/λ

Kavramın Tarihçesi ve Gelişimi

Eksponansiyel dağılımın kökleri, 19. yüzyılın sonları ve 20. yüzyılın başlarında Poisson dağılımı ve süreçleri üzerine yapılan çalışmalara dayanır. Fransız matematikçi Siméon Denis Poisson, belirli bir aralıkta nadir olayların meydana gelme sayısını modellemek için kendi adıyla anılan dağılımı geliştirmişti. Eksponansiyel dağılım, bu sürecin doğal bir tamamlayıcısı olarak ortaya çıktı: Poisson süreci olayların *sayısını* sayarken, eksponansiyel dağılım bu olaylar *arasındaki süreyi* ölçer.

Bu dağılımın modern istatistikteki önemi, özellikle güvenilirlik mühendisliği ve kuyruk teorisi gibi alanların gelişmesiyle arttı. Danimarkalı mühendis ve matematikçi A. K. Erlang, 20. yüzyılın başlarında telefon santrallerindeki çağrı akışını modellemek için yaptığı çalışmalarda eksponansiyel dağılımı kullanarak kuyruk teorisinin temellerini attı. Daha sonra, radyoaktif bozunma gibi fiziksel süreçlerin modellenmesinde ve endüstriyel ürünlerin ömür testlerinde yaygın olarak kullanılmaya başlandı.

Literatür ve Kaynakça

Eksponansiyel dağılım ve ilgili olasılık teorisi konularında daha fazla bilgi için temel kaynaklar:

• Feller, W. (1968). An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1 (3rd ed.). Wiley. - (Olasılık teorisi üzerine yazılmış en klasik ve temel eserlerden biridir.)
• Ross, S. M. (2014). Introduction to Probability Models (11th ed.). Academic Press. - (Olasılık modelleri ve stokastik süreçler üzerine standart bir ders kitabı.)
• Haight, F. A. (1967). Handbook of the Poisson Distribution. Wiley. - (Eksponansiyel dağılımla yakından ilişkili olan Poisson dağılımı üzerine kapsamlı bir kaynak.)
• Balakrishnan, N., & Basu, A. P. (Eds.). (1995). The Exponential Distribution: Theory, Methods and Applications. Gordon and Breach Science Publishers. - (Eksponansiyel dağılımın teorisi ve uygulamaları üzerine odaklanmış detaylı bir eser.)