Ortalama İçin Güven Aralığı Hesaplama

İstatistiksel Çıkarım: Güven Aralığı Ne Anlama Gelir?

İstatistiğin en temel amaçlarından biri, küçük bir gruptan (örneklem) elde edilen bilgileri kullanarak, o grubun ait olduğu daha büyük bütün (popülasyon) hakkında genellemeler yapmaktır. Bu sürece **istatistiksel çıkarım** denir. Örneğin, Türkiye'deki tüm üniversite öğrencilerinin haftalık ortalama ders çalışma süresini öğrenmek istediğimizi varsayalım. Her bir öğrenciye ulaşmak imkansız olduğu için, bunun yerine rastgele seçilmiş 1000 öğrencilik bir örneklem alırız ve bu grubun ortalamasını hesaplarız. Bulduğumuz bu örneklem ortalaması, popülasyonun gerçek ortalaması için en iyi **tek nokta tahminimizdir**, ancak büyük olasılıkla gerçek ortalamayla birebir aynı değildir. İşte **güven aralığı**, bu belirsizliği hesaba katan ve popülasyonun gerçek ortalamasının, belirli bir güvenle, hangi değer aralığında yer aldığını tahmin eden bir **aralık tahminidir**. Bu, "ortalama yaklaşık olarak 30 saattir" demek yerine, "Türkiye'deki öğrencilerin ortalama çalışma süresinin %95 güvenle 28.5 ile 31.5 saat arasında olduğunu tahmin ediyoruz" gibi çok daha bilimsel ve anlamlı bir ifade sunmamızı sağlar.

Güven Düzeyi ve Anlamı: "%95 Güven" Ne Demektir?

Güven aralığı ile ilgili en sık yanlış anlaşılan kavram, güven düzeyinin anlamıdır. %95'lik bir güven aralığı, "popülasyonun gerçek ortalamasının bu aralık içinde olma olasılığı %95'tir" **anlamına gelmez**. Bu ince ama önemli bir ayrımdır. Doğru yorum şudur: "Eğer aynı popülasyondan defalarca aynı büyüklükte örneklemler alıp her biri için bir güven aralığı hesaplasaydık, bu aralıkların %95'i popülasyonun gerçek ortalamasını içerecekti." Yani, güven düzeyi, kullandığımız yöntemin uzun vadedeki başarısını ve güvenilirliğini ifade eder, tek bir aralığın doğruluğu hakkında bir olasılık belirtmez. Yüksek bir güven düzeyi (örn: %99), popülasyonun gerçek ortalamasını yakalama olasılığımızın daha yüksek olduğu anlamına gelir, ancak bu daha geniş ve daha az hassas bir aralık elde etmemiz pahasına olur.

Güven Aralığının Bileşenleri ve Formülü

Bir ortalama için güven aralığı, üç temel bileşenden oluşur:

Burada Hata Payı'nın kendisi de iki parçadan oluşur:

• Örneklem Ortalaması ($\bar{x}$): Güven aralığımızın merkez noktasıdır. Verilerimizden hesapladığımız en iyi tahmindir.
• Standart Hata (SE): Örneklem ortalamasının ne kadar değişken olduğunun bir ölçüsüdür. Formülü `s / √n`'dir (s: örneklem standart sapması, n: örneklem büyüklüğü). Örneklem büyüklüğü (n) arttıkça standart hata küçülür, yani tahminimiz daha güvenilir hale gelir.
• Kritik Değer (t* veya Z*): Seçtiğimiz güven düzeyine karşılık gelen bir katsayıdır. Popülasyon standart sapması bilinmediğinde (neredeyse her zaman olduğu gibi) t-dağılımından elde edilir. %95 güven düzeyi için bu değer genellikle 2'ye yakındır. Daha yüksek bir güven düzeyi, daha büyük bir kritik değer ve dolayısıyla daha geniş bir hata payı ve güven aralığı demektir.