Aritmetik dizi nedir ve temel formülleri nelerdir?

Ardışık terimleri arasındaki farkın sabit olduğu dizilere aritmetik dizi denir. n'inci terim (aₙ) formülü: aₙ = a₁ + (n−1)·d. İlk n terimin toplamı (Sₙ): Sₙ = n/2 · [2a₁ + (n−1)·d].

Geometrik dizi nedir ve temel formülleri nelerdir?

Ardışık terimleri arasındaki oranın sabit olduğu dizilere geometrik dizi denir. n'inci terim: aₙ = a₁·r^(n−1). İlk n terimin toplamı (r ≠ 1): Sₙ = a₁ · (1 − r^n) / (1 − r). r = 1 ise Sₙ = n·a₁'dir.

Araçta a₁, d, r ve n alanlarını nasıl doldurmalıyım?

a₁ ilk terimi, d aritmetik dizide ortak farkı, r geometrik dizide ortak oranı, n ise istediğiniz terim veya toplam sayısını belirtir. Tüm alanlar sayısal değer olmalı ve n en az 1 olmalıdır.

Geometrik toplamda r=1 olduğunda ne olur?

Ortak oran r=1 ise formül Sₙ = a₁ · (1 − r^n) / (1 − r) tanımsız olur. Bu özel durumda toplam Sₙ = n·a₁ olarak hesaplanır ve araç bunu otomatik uygular.

Negatif veya kesirli d ve r değerleri girebilir miyim?

Evet. d ve r alanları negatif ya da ondalıklı olabilir. Negatif r, terimlerin işaret değiştirerek salınmasına, |r|>1 ise terimlerin büyüyerek, |r|<1 ise küçülerek ilerlemesine yol açar.

Sonuçlar hangi birimde gösterilir ve yuvarlama uygulanır mı?

Sonuçlar girilen sayısal değerlere bağlıdır ve birim içermez. Araç, ondalık sonuçları hesap makinesi hassasiyetiyle verir; yuvarlama yapmanız gerekiyorsa sonucu kopyalayıp kendi ihtiyacınıza göre yuvarlayabilirsiniz.

Sonsuz geometrik seri toplamını hesaplayabilir miyim?

Bu araç ilk n terimin toplamını verir. Teoride |r|<1 ise sonsuz serinin toplamı a₁/(1−r) olur. İleride araçta bu mod da desteklenecektir.

a₀'dan başlayan diziler için nasıl dönüştürme yaparım?

Araç a₁'den başlar. Diziniz a₀ ile tanımlıysa a₁ = a₀ + d (aritmetik) ya da a₁ = a₀·r (geometrik) dönüşümünü yapıp öyle girin.

Hata mesajı alıyorum. Ne yapmalıyım?

Tüm zorunlu alanların sayıyla dolu ve n≥1 olduğundan emin olun. Aritmetik için d, geometrik için r girmeyi unutmayın. Hata devam ederse sayfayı yenileyin ve tekrar deneyin.

Bu araç sınavlara hazırlıkta (TYT/AYT, KPSS, LGS) faydalı mı?

Evet. Dizi sorularında n'inci terim ve ilk n terim toplamı çok sık kullanılır. Araç formülleri pekiştirmenize ve test ettiğiniz örnekleri hızla doğrulamanıza yardımcı olur.

Sonuçları paylaşabilir veya dışa aktarabilir miyim?

Araçta yer alan paylaşım ve PDF'e kaydet butonlarıyla sonucu sosyal medyada paylaşabilir, yazdırabilir veya PDF olarak indirebilirsiniz.

Ondalık ayracı virgül mü nokta mı olmalı?

Tarayıcınız genellikle nokta (.) bekler. Yanlış girişlerden kaçınmak için ondalıklarınızı nokta ile yazmanızı öneririz.

Aritmetik ve Geometrik Dizi Hesaplayıcı

Dizinin türünü ve bilgilerini girerek istediğiniz terimi veya terimler toplamını bulun.

Aritmetik ve Geometrik Diziler: Formüller, İpuçları ve Adım Adım Örnekler

Aritmetik ve Geometrik Dizi Hesaplayıcı, matematikte en çok kullanılan iki dizi türü için n’inci terim (aₙ) ve ilk n terimin toplamı (Sₙ) hesaplarını saniyeler içinde yapmanızı sağlayan pratik bir online hesap makinesidir. İster TYT/AYT, LGS, KPSS gibi sınavlara hazırlanın, ister ödevlerinizi kontrol edin ya da mühendislik/finans projelerinde hızlı bir doğrulama yapın, bu araç sayesinde karmaşık görünebilen dizi formülleri kolay ve anlaşılır hale gelir. Aşağıda her iki dizi için tam bir rehber, sık yapılan hatalar, püf noktaları ve gerçek hayat uygulamalarını bulacaksınız.

Aritmetik Dizi Nedir?

Aritmetik dizi, ardışık terimleri arasındaki farkın sabit olduğu dizidir. Bu sabit değere ortak fark denir ve genellikle d ile gösterilir. Aritmetik dizinin en temel iki formülü aşağıdadır:

aₙ = a₁ + (n − 1) · d

Sₙ = (n/2) · [2a₁ + (n − 1) · d]

Burada a₁ ilk terim, n istenen terim veya toplam sayısıdır. d pozitifse dizi artar, negatifse azalır, sıfırsa sabit kalır.

Aritmetik Dizide Örnek (aₙ Hesabı)

Örnek: a₁ = 3, d = 2, n = 10 için aₙ değerini bulalım.

aₙ = 3 + (10 − 1)·2 = 3 + 9·2 = 3 + 18 = 21

Bu hesabı araçta “Aritmetik Dizi” ve “n’inci Terimi Bul” seçenekleriyle, a₁=3, d=2, n=10 girerek anında doğrulayabilirsiniz.

Aritmetik Dizide Örnek (Sₙ Hesabı)

Örnek: a₁ = 5, d = −1, n = 8 için ilk n terimin toplamını bulalım.

S₈ = (8/2) · [2·5 + (8 − 1)·(−1)] = 4 · [10 − 7] = 4 · 3 = 12

Negatif ortak fark, terimlerin küçülerek ilerlemesine yol açar; toplam buna göre şekillenir.

Geometrik Dizi Nedir?

Geometrik dizi, ardışık terimler arasındaki oranın sabit olduğu dizidir. Bu sabit orana ortak oran denir ve r ile gösterilir. Temel formüller şöyledir:

aₙ = a₁ · r^(n − 1)

Sₙ = a₁ · (1 − r^n) / (1 − r) (r ≠ 1)

Özel durum: r = 1 ise tüm terimler eşittir ve Sₙ = n · a₁. Negatif r, terimlerin işaret değiştirerek salınmasına neden olur. |r| > 1 ise terimler büyür, |r| < 1 ise küçülür.

Geometrik Dizide Örnek (aₙ Hesabı)

Örnek: a₁ = 2, r = 3, n = 5 için aₙ değeri:

a₅ = 2 · 3^(5 − 1) = 2 · 3⁴ = 2 · 81 = 162

Geometrik Dizide Örnek (Sₙ Hesabı)

Örnek: a₁ = 4, r = 0.5, n = 6 için Sₙ:

S₆ = 4 · (1 − 0.5⁶) / (1 − 0.5) = 4 · (1 − 1/64) / 0.5 = 4 · (63/64) · 2 = 7.875

Ortak oran 0 ile 1 arasında olduğunda toplam üst sınıra yakınsar; r arttıkça toplam daha hızlı büyür.

Adım Adım Kullanım Rehberi

Dizi Türü: “Aritmetik” veya “Geometrik” seçin.
Hesaplama Türü: “n’inci Terim (aₙ)” ya da “İlk n Terimin Toplamı (Sₙ)”.
a₁: İlk terimi girin (ondalık olabilir).
d / r: Dizi türüne göre ortak fark veya oranı yazın (negatif/ondalık kabul edilir).
n: Kaçıncı terim/toplam isteniyorsa onu girin (n ≥ 1).
HESAPLA: Sonuç ve ayrıntılı çözümü anında görün.

Sık Yapılan Hatalar ve Çözümler

r=1 İstisnası: Geometrik toplam formülünde (1 − r) payda 0 olamaz. r=1 ise Sₙ = n·a₁ kullanılır.
Yanlış Başlangıç İndeksi: Bazı kaynaklar a₀ kullanır. Bu araç a₁’i temel alır. Gerekirse a₁ = a₀ + d (aritmetik) veya a₁ = a₀·r (geometrik) dönüştürmesi yapın.
Ondalık Ayracı: Tarayıcılar genellikle nokta bekler. Virgül kullanırsanız hata alabilirsiniz.
n Değeri: n doğal sayı ve en az 1 olmalı. 0 veya negatif n girilmez.

Gerçek Hayatta Dizi Uygulamaları

Finans: Aritmetik diziler sabit artışlı maaş/ödemeleri, geometrik diziler bileşik büyüme ve iskonto süreçlerini modellemek için kullanılır. Mühendislik ve Bilim: Sinyal işleme, nüfus modelleri, radyoaktif bozunma, merdiven basamakları, ardışık deneyler gibi birçok alanda karşımıza çıkar. Eğitim: TYT/AYT Matematik, LGS ve KPSS’de dizi soruları sıkça sorulur; bu araç formülleri pekiştirip hızlı doğrulama sağlar.

İleri Düzey Notlar

Monotonluk: Aritmetik dizide d > 0 ise artan, d < 0 ise azalan; geometrikte |r| > 1 büyüyen mutlak değer, |r| < 1 küçülen mutlak değer demektir. İşaret Salınımı: r < 0 olduğunda terimler pozitif/negatif arasında salınır. Yakınsama: |r| < 1 ise geometrik dizinin sonsuz toplamı teoride a₁/(1−r) değerine yakınsar (araç n terim toplamını verir).

Örnek Soru Seti ve Çözümleri

S1: Aritmetik dizide a₁=7, d=−3 ise a₁₂ kaçtır?

a₁₂ = 7 + (12−1)·(−3) = 7 − 33 = −26

S2: Aritmetik dizide a₁=12, d=4, n=15 için Sₙ?

S₁₅ = (15/2)·[24 + 56] = (15/2)·80 = 600

S3: Geometrik dizide a₁=5, r=2 için a₈?

a₈ = 5 · 2⁷ = 5 · 128 = 640

S4: Geometrik dizide a₁=9, r=1/3, n=5 için Sₙ?

S₅ = 9 · (1 − (1/3)⁵) / (1 − 1/3) = 9 · (1 − 1/243) / (2/3) = 9 · (242/243) · (3/2) = 13.407407...

SEO İpuçları ve Anahtar Kelimeler

Bu sayfa; aritmetik dizi hesaplama, geometrik dizi hesaplayıcı, n’inci terim bulma, ilk n terim toplamı Sn, aₙ Sn formülleri, dizi formülleri, diziler soru çözümü, online matematik hesap makinesi, TYT AYT KPSS LGS diziler gibi aramaları hedefler. İçerikteki örnekler ve formüller, hem temel hem ileri düzey kullanıcıların ihtiyaçlarını karşılayacak şekilde düzenlenmiştir.

Kısa Kontrol Listesi

Dizi türünü doğru seçtiniz mi (aritmetik/geometrik)?
Hesaplama türü doğru mu (aₙ/Sₙ)?
a₁, d/r ve n değerlerini eksiksiz girdiniz mi?
r=1 durumunda özel formülü hatırladınız mı?
Ondalıklar için nokta kullandınız mı?

Sonuçları Paylaşma ve Dışa Aktarma

Hesap sonrası Facebook, X, WhatsApp, Telegram paylaşım butonlarını; PDF kaydet ve yazdır seçeneklerini kullanabilirsiniz. Bu sayede çözümünüzü ödev/raporlarınıza ekleyebilir veya ders grubunuzla paylaşabilirsiniz.

Sıkça Sorulan Sorular (Kısa Özet)

Aritmetik dizi: aₙ = a₁ + (n−1)d, Sₙ = n/2[2a₁ + (n−1)d]
Geometrik dizi: aₙ = a₁·r^(n−1), Sₙ = a₁(1−r^n)/(1−r) (r≠1)
r=1: Sₙ = n·a₁
a₀→a₁ dönüşümü: Aritmetik: a₁ = a₀ + d; Geometrik: a₁ = a₀·r

Özet

Aritmetik ve Geometrik Dizi Hesaplayıcı, formülleri ezberletmekten çok, onları uygulayarak öğrenmenizi sağlar. Adım adım açıklamalarla doğru yöntemi görür, örnekler sayesinde kavramları pekiştirirsiniz. İster sınav çalışması, ister teknik analiz olsun; aₙ ve Sₙ hesapları artık birkaç tık uzağınızda.