Poisson dağılımı nedir ve hangi durumlarda kullanılır?

Poisson dağılımı, belirli bir zaman veya alan aralığında nadir olayların sayısını modelleyen ayrık olasılık dağılımıdır. Trafik akışındaki kaza sayısı, bir çağrı merkezine belirli bir dakikada gelen çağrı sayısı, üretim bandındaki hataların adedi, bir web sitesine dakika başı gelen isteklerin sayısı gibi olaylar için uygundur.

Poisson dağılımının temel parametresi λ (lambda) neyi ifade eder?

Lambda (λ), seçilen aralıktaki ortalama gerçekleşme sayısını temsil eder. Örneğin λ=3 ise, ilgili aralıkta ortalama 3 olay beklenir. Olasılıklar bu ortalama çevresinde şekillenir.

P(X≤k), P(X k) nasıl bulunur?

Kümülatif olasılıklar tek tek P(X=i) değerlerinin toplanmasıyla hesaplanır. Örneğin P(X≤k) için i=0'dan k'ya kadar olan değerler toplanır. P(X≥k) ise 1−P(X<k) şeklinde bulunur.

Poisson ile Binom dağılımı arasındaki ilişki nedir?

Başarı sayısı az (p küçük) ve deney sayısı çok (n büyük) olduğunda, Binom(n,p) dağılımı λ=np olacak şekilde Poisson dağılımıyla yaklaşık temsil edilebilir.

Oranlar (rate) zaman ölçeği değişince nasıl ölçeklenir?

Poisson oranı doğrusal ölçeklenir. Dakikada λ olay bekleniyorsa, t dakikada beklenen ortalama λ·t olur. Bu sayede farklı süre aralıklarına kolayca uyarlanır.

Gerçek hayatta veri toplarken hangi varsayımlar önemlidir?

Olayların bağımsız olması, ortalama oranın sabit kalması ve çok kısa aralıklarda aynı anda birden fazla olayın meydana gelme olasılığının ihmal edilebilir olması Poisson varsayımları arasında sayılır.

λ nasıl tahmin edilir?

Gözlenen veri üzerinden birim aralık başına düşen ortalama olay sayısı λ olarak tahmin edilir. Örneğin bir saatte ortalama 12 çağrı alınıyorsa, λ=12 kabul edilir.

Kümülatif olasılıkların hesaplanmasında sayısal taşmalar nasıl önlenir?

Büyük k değerlerinde faktöriyel büyümesi nedeniyle sayısal taşma olabilir. Bu durumda log-faktöriyel, artımlı toplam veya yazılım kütüphanelerinin güvenilir kümülatif Poisson fonksiyonları tercih edilir.

Poisson dağılımı simetrik midir?

Hayır, genellikle çarpıktır. λ büyüdükçe çarpıklık azalır ve dağılım Normal dağılıma yaklaşır.

Poisson süreci nedir?

Zaman boyunca rastgele ve bağımsız gerçekleşen olayları modelleyen bir süreçtir. Eşit uzunluktaki aralıklar için beklenen olay sayısı λ ile orantılıdır ve artışlar bağımsızdır.

Dakikadan saate geçerken birim dönüşümü nasıl yapılır?

Bir dakikadaki ortalama λ_dk ise, bir saat için λ_saat = 60·λ_dk olur. Aynı mantıkla diğer aralıklar arasında doğrusal dönüşüm yapılır.

Olasılıkların açıklanması nasıl gösterilir?

Araçta hesap sonrası otomatik açıklama bölümü gösterilir: formül, yerine koyma ve kümülatif toplama adımları adım adım sunulur.

Sınır durumlarında (k=0 veya çok büyük k) ne yapılmalı?

k=0 için formül (e^-λ) olur. Çok büyük k için kümülatif hesaplamada sayısal kararlılık için log-olasılık ve özel fonksiyonlar tercih edilir.

Poisson Dağılımı Olasılık Hesaplayıcı

Belirli bir aralıktaki ortalama olay sayısını (λ) girerek çeşitli olasılıkları hesaplayın.

Poisson Dağılımına Kapsamlı Giriş

Poisson dağılımı, belirli bir zaman, alan veya hacim aralığında bağımsız ve nadir gerçekleşen olayların sayısını modellemek için kullanılan en önemli ayrık olasılık dağılımlarından biridir. Çağrı merkezine dakikada düşen çağrı sayısı, bir üretim bandında saatte görülen hata adedi, bir ağ sunucusuna saniyede gelen istek sayısı, bir metindeki yazım hatalarının miktarı gibi pek çok gerçek hayat senaryosu Poisson çerçevesinde başarıyla modellenir. Bu dağılımın temel parametresi λ (lambda), seçilen aralık başına beklenen ortalama olay sayısını ifade eder; dolayısıyla tüm olasılık hesaplarının kalbi λ’dır.

Poisson Varsayımları: Neye Dikkat Etmeli?

Poisson modelini uygularken tipik olarak şu kabullerden yararlanırız: (1) Olaylar birbirinden bağımsızdır; bir olayın meydana gelmesi diğeri üzerinde etki yaratmaz. (2) İncelenen aralıkta ortalama oran (rate) sabittir; yoğunluk zaman içinde dramatik biçimde dalgalanmıyorsa model daha iyi sonuç verir. (3) Çok küçük zaman dilimlerinde birden fazla olayın aynı anda gerçekleşme olasılığı ihmal edilebilir derecede küçüktür. Bu varsayımlar doğrulandıkça araçtan elde ettiğiniz sonuçlar analitik açıdan daha anlamlı olacaktır.

Formül: P(X=k) Nasıl Hesaplanır?

Poisson dağılımının noktasal olasılık fonksiyonu (PMF) şu şekildedir: P(X=k) = (λ^k · e^-λ) / k!. Burada k sıfır veya pozitif tamsayıdır. Örneğin λ=2, k=0 için olasılık e^-2; k=1 için 2·e^-2; k=2 için (2^2 · e^-2)/2! şeklinde kolayca hesaplanır. Aracımız, bu formülü arka planda sizin yerinize uygulayarak P(X=k) sonucunu ve isterseniz kümülatif olasılıkları sunar.

Kümülatif Olasılıklar: P(X≤k) ve P(X≥k)

Kümülatif olasılık, tek tek değerlerin toplanmasıyla elde edilir. Örneğin P(X≤k) için i=0’dan k’ya kadar olan tüm P(X=i) değerlerini toplarız. P(X≥k) ise 1−P(X

Oranların (Rate) Ölçeklenmesi

Poisson oranı, zaman penceresiyle doğrusal ölçeklenir. Dakikada ortalama λ_dk olay varsa, t dakika için beklenen ortalama λ=t·λ_dk olur. Aynı mantıkla saniye–dakika, dakika–saat, saat–gün dönüşümleri yapılabilir. Bu özellik, farklı planlama ufuklarında tek bir λ temelinden hareketle hızlı projeksiyonlar yapmanızı sağlar.

Poisson ve Binom Yaklaştırması

Binom(n,p) dağılımında başarı olasılığı p çok küçük, deney sayısı n çok büyük olduğunda, başarı sayısı yaklaşık olarak Poisson(λ=np) ile modellenebilir. Bu yaklaşım, özellikle nadir olayların gözlendiği A/B testlerinde veya kalite kontrol çalışmalarında hesapları basitleştirir.

Gerçek Hayat Uygulamaları

Çağrı merkezleri: Pik saatlerde λ yükselir, gece düşer; kısa aralıklarda sabit λ varsayımı lokal olarak iyi çalışır. Web trafiği: CDN istekleri saniyelik veya dakikalık pencerelerde Poisson’a yakın davranabilir. Üretim hataları: Belirli bir mesafe veya ürün adedi başına hata sayısı Poisson ile modellenebilir. Sağlık: Hastaneye saatlik başvuru sayıları, tıbbi cihaz alarmlarının sayısı benzer şekilde incelenebilir.

Parametre Tahmini (λ’nın Seçilmesi)

En basit yaklaşım örnek ortalamayı kullanmaktır: Birim aralıkta gözlenen ortalama olay sayısını λ kabul ederiz. Örneğin 10 dakikada 30 olay varsa, dakikalık λ yaklaşık 3’tür. Sezonluk dalgalanmalar varsa, farklı zaman dilimleri için ayrı λ kullanmak daha doğru sonuç verebilir.

Dağılımın Şekli ve Normal Yaklaşımı

Poisson dağılımı düşük λ değerlerinde sağa çarpık bir görünüme sahiptir. λ büyüdükçe çarpıklık azalır ve dağılım simetriye yaklaşır; hatta yeterince büyük λ için Normal(μ=λ, σ²=λ) yaklaşımıyla hesap yapmak pratik hale gelir. Bu, özellikle çok büyük k aralıklı kümülatif olasılıkların yaklaşık hesabında faydalıdır.

Model Sınırları ve İstisnalar

Bazı veri kümelerinde olaylar bağımsız değildir (ör. kümelenme). Böyle durumlarda Poisson eksik yayılım veya aşırı yayılım gösterebilir. Aşırı yayılımda Negatif Binom gibi alternatifler değerlendirilebilir. Ayrıca oran sabitliğinin bozulduğu dönemlerde (kampanya, sistem kesintisi, bayram) için ayrı λ kullanmak gerekir.

A/B Testleri ve Bekleme Süreleri

Poisson, sayım verilerine (count data) doğrudan uygulanırken, olaylar arası bekleme süreleri için Üstel dağılım kullanılır. Poisson sürecinde bekleme süreleri üstel dağılır; bu ilişki, sistem tasarımında (ör. kuyruk teorisi) kritik bir köprü görevi görür.

Aracı Doğru Kullanmak İçin İpuçları

İncelediğiniz aralık için tutarlı bir λ kullanın; birimleri netleştirin (dakika/saat/gün).
Kümülatif olasılıklarda, aralığı doğrudan seçmek (≤, ≥ vb.) hesap yükünü azaltır.
Beklenen değer λ, varyans da λ’dır; bu eşitlik Poisson’ın ayırt edici özelliğidir.
Farklı zaman pencereleri için λ’yı doğru ölçekleyin (t ile çarpın).

Örnek Senaryolar

Bir e-ticaret sitesinde dakikada ortalama 2 sipariş (λ=2) geliyorsa, bir dakikada 0 sipariş olasılığı e^-2 ≈ 0.1353’tür. En fazla 2 sipariş olasılığı P(X≤2) = P(0)+P(1)+P(2) toplanarak bulunur. Aynı sitenin pik kampanya anında λ=6’ya çıktığında, 10 dakikalık pencerede beklenen ortalama 60 olur ve kümülatif olasılıklar dramatik biçimde değişir.

SEO Odaklı Anahtar Kelimeler

“poisson dağılımı”, “poisson olasılık hesaplama”, “λ oranı”, “kümülatif poisson”, “ayrık olasılık”, “çağrı merkezi istatistiği”, “üretim hata sayısı”, “web trafik modelleme”, “Poisson süreci” gibi ifadeler doğal akışta metne serpiştirilmiştir.

Sonuç

Poisson dağılımı, nadir olay sayılarının modellenmesinde güçlü, esnek ve pratik bir çerçeve sunar. Doğru λ seçimi, birim dönüşümlerinin dikkatle yapılması ve kümülatif olasılıkların güvenli sayısal yöntemlerle hesaplanması doğru bir analizin temelini oluşturur. Bu sayfadaki araç, hem P(X=k) hem de kümülatif olasılıkları adım adım açıklayarak hesaplarınızı hızlandırır.

Poisson Dağılımı Nedir?

Poisson dağılımı, belirli bir sabit zaman aralığında veya belirli bir alanda, ortalama gerçekleşme oranı bilinen nadir olayların sayısının olasılığını modellemek için kullanılan bir ayrık olasılık dağılımıdır. Örneğin, bir saat içinde bir web sitesine gelen ziyaretçi sayısı, bir metindeki yazım hatalarının sayısı veya bir dakikada bir çağrı merkezine gelen telefon çağrıları gibi durumlar Poisson dağılımı ile modellenebilir.

Poisson Olasılık Formülü

Belirli bir aralıkta bir olayın tam olarak 'k' kez meydana gelme olasılığı şu formülle hesaplanır:

P(X=k) = (λᵏ * e⁻ˡ) / k!

Burada:

λ (Lambda): Belirtilen aralıktaki ortalama olay sayısıdır.
k: Olasılığı hesaplanmak istenen olay sayısıdır.
e: Euler sayısı, yaklaşık 2.71828'dir.
k!: k faktöriyeldir (k * (k-1) * ... * 1).